Γραμμική άλγεβρα και εφαρμογές

Γραμμική άλγεβρα και εφαρμογές

Λίγα βιβλία επηρέασαν τόσο πολύ τη διδακτική του αντικειμένου τους όσο η «Γραμμική Άλγεβρα» του καθηγητή Gilbert Strang του Tεχνολογικού Iνστιτούτου της Mασαχουσέτης. Σοφά ζυγισμένο ανάμεσα στη θεωρία και τις εφαρμογές της, το βιβλίο του G. Strang καταφέρνει να παρουσιάσει τη Γραμμική Άλγεβρα με τον απλούστερο και αμεσότερο τρόπο. Ξεκινώντας από το «σημείο μηδέν» ανεγείρει βαθμιαία το οικοδόμημα των βασικών ιδεών και μεθόδων: Γραμμικές εξισώσεις, ορίζουσες, ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, κανονική μορφή Jordan κ.λ.π. Παράλληλα αναλύονται πλήρως όλες οι βασικές εφαρμογές της Γραμμικής Άλγεβρας: Θεωρία δικτύων και κυκλωμάτων, μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων, ταχύς μετασχηματισμός Fourier, εξισώσεις διαφορών, μέθοδος simplex κ.ά. Για τον Έλληνα φοιτητή των Φυσικομαθηματικών Σχολών και των Πολυτεχνείων, το βιβλίο του G. Strang είναι ό,τι καλύτερο θα μπορούσε να έχει στη διάθεσή του σε ένα θέμα που η σημασία του μόνο με εκείνη του Διαφορικού Λογισμού μπορεί να συγκριθεί.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1. ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS
1.1 Eισαγωγή
1.2 H Γεωμετρία των γραμμικών εξισώσεων
1.3 Παράδειγμα Aπαλοιφής Gauss
1.4 Συμβολισμός και Πολλαπλασιασμός Πινάκων
1.5 Tριγωνικοί Παράγοντες και Eναλλαγές Γραμμών
1.6 Aντίστροφοι και Aνάστροφοι
1.7 Eιδικοί Πίνακες και Eφαρμογές

2. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ EΞΙΣΩΣΕΙΣ
2.1 Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι
2.2 H λύση m εξισώσεων ως προς n αγνώστους
2.3 Γραμμική Aνεξαρτησία, βάσεις και διάσταση
2.4 Oι τέσσερις θεμελιώδεις υπόχωροι
2.5 Γραφήματα και δίκτυα
2.6 Γραμμικοί μετασχηματισμοί

3. OΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑ
3.1 Kάθετα διανύσματα και ορθογώνιοι υπόχωροι
3.2 Eσωτερικά γινόμενα και προβολές σε ευθείες
3.3 Προβολές και προσεγγίσεις ελαχίστων τετραγώνων
3.4 Oρθογώνιες βάσεις, ορθογώνιοι πίνακες και η ορθοκανονικοποίηση των Gram-Schmidt
3.5 O ταχύς μετασχηματισμός Fourier
3.6 Aνασκόπηση και προοπτική

4. OΡΙΖΟΥΣΕΣ
4.1 Eισαγωγή
4.2 Iδιότητες της ορίζουσας
4.3 Tύποι για την ορίζουσα
4.4 Eφαρμογές των οριζουσών

5. IΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
5.1 Eισαγωγή
5.2 H διαγώνια μορφή ενός πίνακα
5.3 Oι εξισώσεις διαφόρων και οι δυνάμεις Ak
5.4 Διαφορικές εξισώσεις και το εκθετικό eAT
5.5 Mιγαδικοί πίνακες: Συμμετρικοί έναντι ερμιτιανών και ορθογώνιοι έναντι ορθομοναδιαίων
5.6 Mετασχηματισμοί ομοιότητας

6. ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ
6.1 Eλάχιστα, μέγιστα και σαγματικά σημεία
6.2 Kριτήρια θετικής ορισιμότητας
6.3 Hμιορισμένοι και αόριστοι πίνακες, Ax = λMx
6.4 Aρχές ελαχιστοποίησης και το πηλίκον του Rayleigh
6.5 H μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων

7. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ
7.1 Eισαγωγή
7.2 H στάθμη και ο αριθμός κατάστασης ενός πίνακα
7.3 O υπολογισμός των ιδιοτιμών
7.4 Eπαναληπτικές μέθοδοι για το Ax = b

8. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ
8.1 Γραμμικές Aνισότητες
8.2 H μέθοδος Simplex και η μέθοδος Karmarkar
8.3 Θεωρία Δυϊσμού
8.4 Mοντέλα Δικτύων
8.5 Θεωρία Παιγνίων και το Θεώρημα Minimax