Απειροστικός λογισμός (ενιαίος τόμος)

Απειροστικός λογισμός (ενιαίος τόμος)

Με τη 10η έκδοση του κλασικού αυτού συγγράμματος, οι συγγραφείς παρουσιάζουν μια σύγχρονη όψη του απειροστικού λογισμού με την υποστήριξη της τεχνολογίας των υπολογιστών, παραμένοντας ωστόσο πιστοί στην παραδοσιακή «συνταγή» της διεθνούς επιτυχίας του βιβλίου: μαθηματικά σωστά ζυγισμένα ανάμεσα στην αυστηρότητα και την ποιοτική κατανόηση των εννοιών, σε συνδυασμό με εφαρμογές που ενδιαφέρουν τον γενικό επιστήμονα και τον μηχανικό, αλλά και άριστη επιλογή ασκήσεων.

Έμφαση δίνεται στην κατασκευή μαθηματικών μοντέλων, καθώς και στη γραφική και υπολογιστική τους διερεύνηση για την ανάπτυξη δεξιοτήτων και την εμπέδωση των εννοιών. Στο δικτυότοπο του βιβλίου (www.cup.gr) διατίθεται «ηλεκτροντικό συμπλήρωμα» με εφαρμογές Mathematica και Maple, πλήθος ιστορικών και βιογραφικών στοιχείων, πλήρεις ηλεκτρονικές διαφάνειες κ.λπ.

Από τα σοβαρότερα πλεονεκτήματα του βιβλίου είναι οι εφαρμογές από τον πραγματικό κόσμο, οι οποίες συνεχώς αναθεωρούνται και εμπλουτίζονται κατά τις τελευταίες εκδόσεις, αντλώντας θέματα από τη φυσική και τις επιστήμες μηχανικού, από τη χημεία και τη βιολογία, από τις οικονομικές και τις κοινωνικές επιστήμες.

Με τον πλούτο της ύλης και τη δυνατότητα ευελιξίας που παρέχει η διάρθρωσή του, ο Απειροστικός Λογισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μια πληθώρα διαφορετικών πανεπιστημιακών μαθημάτων, από τα πιο θεωρητικά μέχρι τα πιο εφαρμοσμένα. Ο διδάσκων μπορεί να επιλέξει σε ποιο βαθμό θα ενσωματώσει τις προαιρετικές –αλλά ουσιαστικές– υπολογιστικές εφαρμογές στο μάθημα. Σε κάθε περίπτωση, ο αναγνώστης δεν μπορεί παρά να εκτιμήσει τον λογισμό ως ένα αξιοθαύμαστο διανοητικό εργαλείο ερμηνείας, κατανόησης και διαχείρισης του κόσμου που μας περιβάλλει.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

0. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ

1. Ευθείες
2. Συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις
3. Εκθετικές συναρτήσεις
4. Αντίστροφες συναρτήσεις και λογάριθμοι
5. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους
6. Παραμετρικές εξισώσεις
7. Μοντέλα μεταβολών

1. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 Ρυθμοί μεταβολής και όρια
1.2 Εύρεση ορίων και πλευρικών ορίων
1.3 Άπειρα όρια
1.4 Συνέχεια
1.5 Εφαπτόμενες ευθείες

2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

2.1 Η παράγωγος ως συνάρτηση
2.2 Η παράγωγος ως ρυθμός μεταβολής
2.3 Παράγωγοι γινομένου, πηλίκου και αρνητικής δύναμης
2.4 Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων
2.5 Κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης
2.6 Παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης
2.7 Συναφείς ρυθμοί

3. EΦAPMOΓEΣ TΩN ΠAPAΓΩΓΩN

3.1 Ακρότατα συναρτήσεων
3.2 Θεώρημα μέσης τιμής και διαφορικές εξισώσεις
3.3 Το σχήμα της γραφικής παράστασης
3.4 Γραφική επίλυση αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων
3.5 Κατασκευή μοντέλων και βελτιστοποίηση
3.6 Γραμμικοποίηση και διαφορικά
3.7 Μέθοδος του Νεύτωνα

4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

4.1 Αόριστα ολοκληρώματα, διαφορικές εξισώσεις και μαθηματικά μοντέλα
4.2 Κανόνες ολοκλήρωσης? Ολοκλήρωση με αντικατάσταση
4.3 Εκτίμηση ποσοτήτων με χρήση πεπερασμένων αθροισμάτων
4.4 Αθροίσματα Riemann και ορισμένα ολοκληρώματα
4.5 Θεώρημα μέσης τιμής και θεμελιώδες θεώρημα
4.6 Υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων με αντικατάσταση
4.7 Αριθμητική ολοκλήρωση

5. EΦAPMOΓEΣ TΩN OΛOKΛHPΩMATΩN

5.1 Υπολογισμός όγκων με διατμήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα
5.2 Μοντέλα όγκων με χρήση κυλινδρικών φλοιών
5.3 Μήκη καμπυλών στο επίπεδο
5.4 Ελατήρια, αντλίες και ανελκυστήρες
5.5 Δυνάμεις ρευστών
5.6 Ροπές και κέντρα μάζας

6. YΠEPBATIKEΣ ΣYNAPTHΣEIΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

6.1 Λογάριθμοι
6.2 Εκθετικές συναρτήσεις
6.3 Παράγωγοι αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων – Ολοκληρώματα
6.4 Διαχωρίσιμες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως
6.5 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως
6.6 Η μέθοδος του Euler? Πληθυσμιακά μοντέλα
6.7 Υπερβολικές συναρτήσεις

7. ΤΕΧΝΙΚΕΣ OΛOKΛHPΩΣHΣ, Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ Lʼ HOPITAL ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

7.1 Κύριοι τύποι ολοκλήρωσης
7.2 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες
7.3 Μερικά κλάσματα
7.4 Τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις
7.5 Τύποι ολοκληρωμάτων, συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας και ολοκλήρωση με τη μέθοδο
Monte Carlo
7.6 Ο κανόνας του Lʼ Hopital
7.7 Γενικευμένα ολοκληρώματα

8. ΑΠΕΙΡΕΣ ΣΕΙΡΕΣ

8.1 Όρια ακολουθιών
8.2 Υποακολουθίες, φραγμένες ακολουθίες και η μέθοδος Picard
8.3 Άπειρες σειρές
8.4 Σειρές με μη αρνητικούς όρους
8.5 Εναλλασσόμενες σειρές, απόλυτη σύγκλιση και σύγκλιση υπό συνθήκη
8.6 Δυναμοσειρές
8.7 Σειρές Taylor και Maclaurin
8.8 Εφαρμογές δυναμοσειρών
8.9 Σειρές Fourier
8.10 Σειρές Fourier ημιτόνων και συνημιτόνων

9. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΑΙ ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

9.1 Διανύσματα στο επίπεδο
9.2 Εσωτερικά γινόμενα
9.3 Διανυσματικές συναρτήσεις
9.4 Μαθηματική περιγραφή της κίνησης βλήματος
9.5 Πολικές συντεταγμένες και διαγράμματα
9.6 Απειροστικός λογισμός πολικών καμπυλών

10. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ

10.1 Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στον χώρο
10.2 Εσωτερικά και εξωτερικά γινόμενα
10.3 Ευθείες και επίπεδα
10.4 Κύλινδροι και επιφάνειες δευτέρου βαθμού
10.5 Διανυσματικές συναρτήσεις και καμπύλες στον χώρο
10.6 Μήκος τόξου και το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα Τ
10.7 Το σύστημα αναφοράς TΝΒ? εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης
10.8 Κινήσεις πλανητών και δορυφόροι

11. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΤΟΥΣ

11.1 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
11.2 Όρια και συνέχεια σε περισσότερες από μία διαστάσεις
11.3 Μερικές παράγωγοι
11.4 Ο κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης
11.5 Παράγωγοι κατά κατεύθυνση, διανύσματα κλίσεως και εφαπτόμενα επίπεδα
11.6 Γραμμικοποίηση και διαφορικά
11.7 Aκρότατα και σαγματικά σημεία
11.8 Πολλαπλασιαστές Lagrange
11.9 Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων των οποίων οι μεταβλητές υπόκεινται σε περιοριστική
συνθήκη
11.10 Τύπος του Taylor για συναρτήσεις δύο μεταβλητών

12. ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

12.1 Διπλά ολοκληρώματα
12.2 Εμβαδά, ροπές και κέντρα μάζας
12.3 Διπλά ολοκληρώματα σε πολική μορφή
12.4 Τριπλά ολοκληρώματα σε καρτεσιανές συντεταγμένες
12.5 Μάζες και ροπές σε τρεις διαστάσεις
12.6 Τριπλά ολοκληρώματα σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες
12.7 Αντικαταστάσεις σε πολλαπλά ολοκληρώματα

13. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΔΙΩΝ

13.1 Επικαμπύλια ολοκληρώματα
13.2 Διανυσματικά πεδία, έργο, κυκλοφορία και ροή διαμέσου κλειστής καμπύλης
13.3 Ανεξαρτησία από τη διαδρομή, συναρτήσεις δυναμικού και συντηρητικά πεδία
13.4 Θεώρημα του Green στο επίπεδο
13.5 Εμβαδόν επιφανειών και επιφανειακά ολοκληρώματα
13.6 Παραμετρικοποιημένες επιφάνειες
13.7 Θεώρημα του Stokes
13.8 θεώρημα της απόκλισης και μια ενιαία θεώρηση

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ

Π.7 Συχνοεμφανιζόμενα όρια
Π.8 Απόδειξη του θεωρήματος του Taylor
Π.9 Ο επιμεριστικός νόμος για εξωτερικά γινόμενα διανυσμάτων
Π.10 Ορίζουσες και ο κανόνας του Cramer
Π.11 Θεώρημα των μεικτών παραγώγων και το θεώρημα μεταβολών
Π.12 Εμβαδόν προβολής παραλληλογράμμου σε επίπεδo